학교는 등록하는 것이 맞을 거 같습니다. 해당 불법체류는 입국금지가 적용되는 불법체류는 아닙니다. 또한 불법체류기록이 남게 되더라도 자녀의 미국초등학교 재학이나 현재 사는 집의 렌트, 전기, 가스 등 유틸리티 관련 문제는 당장에 발생하지 않을 겁니다. 하지만 학교를 미등록하고 불법체류하다가는 추후에 ESTA 나 B2 비자 발급이 제한될 수 있어서 미국 재입국이 어려워질 수 있습니다. 진단서를 받아서 이를 보여준다고 해도 한국 귀국 후 당분간 비자를 받기는 어려울 겁니다. 다시는 오지 않을 것이라는 생각이라면 모르지만 함부로 불법을 하는 것은 좋은 생각이 아닌 거 같습니다.