겸직금지 조항이 근로계약서에 명시되지 않았고 입사 시 별도로 고지되지도 않았다면, 이를 근거로 근로자의 겸직을 제한하기는 어렵습니다. 더구나 이 근로자는 이미 퇴직 신청을 한 상태이므로, 재직 중 성실의무 위반 여부를 다투는 실익도 크지 않습니다. 다만 다음 두 가지는 참고할 필요가 있습니다. 첫째, 명시적인 겸직금지 약정이 없더라도 부정경쟁방지 및 영업비밀보호에 관한 법률에 따라 영업비밀을 이용한 경쟁행위 등은 별도로 제한될 수 있습니다. 만약 이 근로자가 회사의 핵심 영업비밀에 접근 가능한 위치였고 경쟁업체로 이직하는 것이라면, 이 부분은 겸직금지 조항과 무관하게 별도로 검토할 문제입니다. 둘째, 실무적으로 이런 상황을 예방하려면 연차 사용을 통한 근무 대체(퇴사 전 미리 출근하지 않고 연차로 처리)를 승인하지 않고, 정상적으로 마지막 날까지 근무하게 한 뒤 퇴사 시점에 미사용 연차를 수당으로 정산하는 방식을 고려할 수 있습니다. 이렇게 하면 재직 중임에도 실제로는 타 회사에 출근하는 모호한 상황 자체를 원천적으로 방지할 수 있습니다. 4대보험과 관련해서는, 고용보험은 원칙적으로 하나의 사업장에만 가입되므로 이중가입 문제가 생기지 않도록 상실신고 시점을 조정하는 실무적 처리가 필요합니다. 이 답변은 일반적인 법률 정보 제공을 위한 것입니다.